ATX tápegység

      Az ATX (Advanced Technology eXtended) egy számítógépes Intel szabvány, amely bizonyos feszültség- és áramerősségszinteket, csatlakozótípusokat, méreteket és elrendezéseket határoz meg. Az ATX tápegység ehhez a szabványhoz igazodik. A legfőbb feladata egy számítógép tápegységének a megfelelő feszültségszintek előállítása: +12V, +5V és +3.3V a szükséges áramerősségekkel együtt. Emellett még előfordul a -12V, amit az RS-232 soros port használ vagy a -5V, amit az ISA buszra csatlakozott perifériák használnak. Ez a kettő, főleg az utóbbi már elavult technológiának számít és az újabb tápegységekbe már nincs beleépítve (vagy csak az alkatrészek helye van meghagyva a nyomtatott áramkörön). A +12V-ot a villanymotorral rendelkező perifériák használják, mint a DVD író, HDD vagy egyéb mechanikus alkatrész (pl. ventillátor), illetve az alaplap VRM áramkörei használják. Sok esetben a villanymotorok 5V-osak, valamint a RAM memória és a PCI kártyák is ebből konvertálják át maguknak a feszültségeket. Az átkonvertált feszültségek többnyire 3.3V vagy ez alatti értékek, ezért a tápegységből egy ilyen ág is ki van vezetve. A külön kivezetések külön áramkörökből erednek, így egyik leterhelése nem okoz problémát a másiknak. A gyengébb minőségű tápegységekben ez a különállóság nem teljes mértékű és sokszor üzemzavart okozhat. A régebbi tápegységekben (Pentium IV generáció) a tápegység az 5V-os ágra összpontosította az energia legnagyobb részét, az újakban a +12V kap nagyobb szerepet.

Az ATX tápegységek ezeken kívül még el vannak látva 3 további kivezetéssel:

• PWR-OK (szürke, 5V): az alaplap csak akkor lép működésbe, ha erről a vezetékről jelet (5V-ot) kap. A tápegység pedig csak akkor ad jelet, ha a bekapcsolást követően minden feszültség- és áramerősségszint megfelelő és stabil. Ez a jel folyamatosan jelen kell legyen, hogy a számítógép működjön. Egy áramkör folyamatosan teszteket végez és ha túl nagy az ingadozás vagy nem teljesülnek a megadott küszöbértéket, nyomban lekapcsolja az 5V-ot a PWR-OK vezetékről. Amíg a PWR-OK jel meg nem érkezik, addig egy időzítő felhúzva tartja a processzor reset lábát, hogy az ne tudjon elindulni.
• PS-ON (zöld, 5V): lehetővé teszi a tápegység szoftveres ki- és bekapcsolását. Ezt az olyan operációs rendszerek tudják kihasználni, melyek támogatják APM (Advanced Power Management) vagy ACPI (Advanced Configuration and Power Interface) funkciókat. Ezen funkciók nélkül a leállásra szánt rendszer nem tudja lekapcsolni a tápegységet, csupán kiírja, hogy a számítógép biztonságosan kikapcsolható. Amíg az 5V jelen van a vezetéken, addig a tápegység nem kapcsol be. A számítógép kapcsológombja hozza 0V-r a feszültségszintet.
• 5VSB (lila, 5V): a kikapcsolt állapotban lévő tápegység egy 5V-os tápfeszültséget szolgáltat ezen a vezetéken, amely ellátja a készenléti áramköröket. Ennek segítségével távolról (LAN, USB) is bekapcsolható a számítógép. A PWM vezérlőnek is szüksége van erre mielőtt elindítaná a tápegységet.

Az ATX tápok működése kapcsolóüzemű, nem lineáris. Ez azt jelenti, az aktív komponensek (pl. tranzisztorok) nem lineáris, hanem kapcsoló üzemmódban dolgoznak.

• A lineáris tápegységek általában előbb áttranszformálják a hálózati feszültséget a megfelelő értékre, egyenirányítják, szűrik, majd negatív visszacsatolású szabályzóval vagy teljesítménytranzisztorokkal stabilan tartják a kimenetet.

• A kapcsolóüzemű tápegységek a transzformálás előtt egyenirányítják, szűrik, majd magas frekvencián (10-50kHz) kapcsolgatják a hálózati feszültséget. Emiatt kisebb transzformátor is elég, hisz a transzformátor vasmagjának keresztmetszete és menetszáma fordítottan arányos a frekvenciával. Ugyanakkor a vasmag anyagának fluxus-sűrűsége is eleget kell tegyen a magas frekvenciáknak, különben a transzformátor túltelítődik. A transzformálás után újabb szűrés következik, ám ezúttal kisebb (és gyorsabb) alkatrészek is elegendőek a szűréshez.

A kapcsolóüzem láthatólag bonyolultabb, mivel több lépésből áll mint a lineáris üzem. Ennek ellenére olcsóbb és sokkal hatékonyabb megoldás (amíg a lineáris 40% hatékony, addig a kapcsolóüzemű 90%). A magas frekvencia további bonyodalmakat okoz a tervezésben, hiszen az alkatrészek képesek kell legyenek a gyors kapcsolgatásra és figyelembe kell venni a tekercseken fellépő szkin-hatást (minél nagyobb a frekvencia, annál kevésbé hatol be az áram a vezető belsejébe).

Az ATX tápegység belső felépítése 3 részre osztható:

1. Primer rész: egyenirányítja a bemenő áramot és felkonvertálja a frekvenciáját (230V)
2. Transzformátor rész: letranszformálja a kapcsolgatott feszültséget (230V -> 12V)
3. Szekunder rész: egyenirányítja és stabilizálja a kimenetet (12V, 5V, 3.3V)

Ez a három rész a régebbi tápegységekben különíthető csak olyan szépen el, mint a fenti képen, az újabb vagy minőségibb tápegységekben kicsivel szétszórtabbak az alkatrészek. Legegyszerűbben a vezetékek végigkövetésével lehet őket beazonosítani: a hálózati csatlakozóhoz tartozó vezeték a primer ágba megy, a ventillátor és a kimenő csatlakozókhoz tartozó vezetékek pedig a szekunder ágba tartanak. A kettő között minden esetben transzformátorok jelzik a transzformátor részt. A három rész további bontható funkciójuk szerint:

1. Primer rész:

         - Zajszűrő - kiszűri a beérkező és a kimenő zajokat

         - Egyenirányító - javítja a teljesítménytényezőt, egyenirányít, szűr, véd (túláram, zárlat stb.)

         - Kapcsoló - magas frekvencián kapcsolgat

         - PWM vezérlő - irányítja a kapcsoló bekapcsolt állapotának időtartamát (a kitöltési tényezőt)

2. Transzformátor rész:

         - Transzformátor - lecsökkenti a primer feszültséget

         - Izolátor - elválasztja a primer és a szekunder részt a visszacsatolásnál (lásd a köv. ábrát)

3. Szekunder rész:

          - Kimenő szűrő és védő - szabályozza a kimeneti feszültségeket, véd (túlterhelés, zárlat, stb.)

Az ATX táp blokkvázlata ezek alapján a következő:

Látható, hogy egy zárthurkú rendszerről van szó. A kapcsolót a vezérlő a kimenet alapján vezérli.

1. Zajszűrő

Megvédi a tápegységet az elektromágneses zajoktól, és levágja a feszültségtüskéket. Kifelé is védenie kell, hisz a gyorsan kapcsolgató tranzisztorok magas frekvenciás zajt visznek a hálózatba. Az áramkör általában egy X és két Y kondenzátorból, két fojtótekercsből, egy MOVból (Metal Oxide Varistor) és egy biztosítékból áll. A varisztor a túlfeszültségtől véd, a biztosíték a zárlattól, a tekercsek és a kondenzátorok pedig a zajokat szűrik ki. Az X kondenzátor párhuzamosan van kötve a hálózati feszültséggel, az Y kondenzátorok pedig két sorba kötött kondenzátorból állnak, amely a hálózattal szintén párhuzamosan van kötve. A közös pontjuk a földre, azaz a tápegység házára van kötve.

A zajszűrő áramkör után szokott lenni egy NTC (Negative Temperature Coefficient) termisztor is, ami megvédi a tápegységet a bekapcsolási túláramtól. Sok esetben bekapcsolás után a termisztort egy relé zárja rövidre levéve róla a terhelést, így az kihűlhet, hogy az esetleges újraindításnál is megfelelően működjék. Van úgy, hogy a zajszűrőt vagy annak egyik felét a hálózati csatlakozóra szerelik.

2. Egyenirányító

A váltóáramot egyenárammá alakítja. Az egyenirányító diódahíd után a az egyenáramot egy vagy két puffer-kondenzátoron vezetik át, a kimenet pedig $\sqrt{2}\cdot 230=325.27 \text{ V}$ lesz. Ehhez az áramkörhöz tartozik a PFC (Power Factor Correction - Teljesítménytényező korrekciós) áramkör is, amely a meddő teljesítményt csökkenti. A PFC lehet aktív (APFC) vagy passzív (PPFC). A teljesítménytényező a hatásos (P) és a látszólagos (S) teljesítmény aránya, ami a derékszögű teljesítmény-háromszögben: $\cos{\varphi}=\frac{P}{S}$. A legnagyobb érték 1 lehet, ekkor a teljesítmény tisztán hatásos, 0 esetén pedig tisztán meddő (Q). Tisztán hatásos teljesítmény csak tisztán ohmos terhelés esetén létezik, amikor a hálózatot csak a terhelés által felvett teljesítmény terheli. A teljesítmény akkor válik meddővé, ha a terhelés reaktív. Ekkor ugyanis a feszültség és az áram fázisa 90 fokos eltolódásban van egymáshoz képest, azaz a feszültségcsúcsoknál az áramfelvétel nulla, az áramcsúcsoknál pedig a feszültség nulla:

A teljesítmény, mint az áramerősség és a feszültség szorzata, minden fél ciklusban előjelet vált, tehát amennyi energiát felvesz, annyit vissza is szolgáltat a terhelés. A teljes ciklust nézve elmondható, hogy semmi nem használ energiát, bár az áramszolgáltatónak a villamos energia szállítása veszteséget okoz. 

\[P=U\cdot I\cdot \text{cos}(\varphi)\implies I=\frac{P}{U\cdot\text{cos}(\varphi)}\]

Minél inkább közelít $\text{cos}(\varphi)$ a nullához, annál nagyobb az áramfelvétel. Tisztán reaktív terhelés esetén végtelen nagy, de bármekkora is, nem végez aktív munkát. Ez csupán elmélet, a valóságban semmi sem tisztán reaktív vagy ohmos, így a számítógép tápegységek is csak részben reaktívak, a feszültség és az áram fázisai közti eltolódás értéke 45 fok.  Más szóval a hatásos és meddő teljesítménnyel is egyaránt számolni kell, a derékszögű teljesítmény-háromszögben e kettő négyzetösszege a látszólagos (S) teljesítmény négyzetét adja:

Bár a háztartási fogyasztóknak csak a hatásos teljesítményt kell megfizetniük (hiszen azt a legegyszerűbb mérni), de az üzleti fogyasztók (pl. gyárak) a meddő teljesítményt is, azaz a látszólagos teljesítményt fizetik. Ha egy vállalkozásban több számítógépet üzemeltetünk, akkor megfizetjük a meddő teljesítményt is. Mivel otthon senki nem fizet a meddő teljesítményért, ezért az  EN61000-3-2 európai szabvány kimondja, hogy a 75W-nál nagyobb kimenő teljesítményű kapcsolóüzemű tápegységeknek rendelkezniük kell PFC-vel. A régebbi ATX tápok passzív PFC-t használtak, azok melyeken manuálisan kellett a 110/230V bemenő hálózati áramforrást kiválasztani és a 110V-os álláson a hálózati feszültség átment egy feszültségkétszerezőn. Az aktív PFC-vel rendelkező tápegységekben ez automatikusan működik, általában 100-240V-os bemenő feszültségtartományt tűntetnek fel. A cél, hogy a teljesítménytényező minél közelebb kerüljön 1-hez. Ezt az aktív PFC sokkal jobban megközelít mint a passzív PFC. A 80 Plus számítógép-tápegység tanusítvány 0.9 vagy ennél is nagyobb teljesítménytényezőt követel.

- PPFC $(\cos{\varphi}=0.7-0.8)$: egy alul-áteresztő szűrővel szűri ki a felső harmonikusok keltette zajokat és csak az 50Hz-es alaphullámot hagyja meg, ezáltal a nem-lineáris terhelés lineárissá alakul. A passzív PFC jóval nagyobb alkatrészeket követel. Azokban a tápegységekben, ahol a vasházra külön fel van csavarozva egy transzformátor, az passzív PFC-vel rendelkezik (akkor is ha nincs rajta hálózati feszültségváltó kapcsoló):

- APFC $(\cos{\varphi}=0.9-0.99)$:  kapcsoló-üzemmódban dolgozik, az egyenirányítás után az egyenáramot megszaggatja, majd az impulzusok közti réseket simító kondenzátorok egyenlítik ki. A szaggatást két MOSFET tranzisztor végzi, melyek a primer oldal hűtőbordájára  vannak általában felszerelve. Szaggatás után egy teljesítménydióda védi a tranzisztorokat, amely szintén ugyanazon a hűtőbordán kap helyet. Előfordulhat, hogy a PFC alkatrészeit külön hűtőbordára szerelik. A tekercs a váltóáramú komponens kiszűrésére szolgál és a bekapcsolási túláram ellen véd, ez a legnagyobb toroid tekercs a tápegységben. A teljesítménytranzisztorokat vezérlő IC hajtja, ami gyakran egyben a PWM meghajtást is végzi (ezért angolul PFC/PWM combo-nak nevezik). A termisztor gondoskodik arról, hogy a felmelegedett tápegység kevesebb áramot vegyen fel.

Az APFC kétféle vezérlést különböztet meg:

• DCM (Discontinuous Conduction Mode): a tekercsen átfolyó áram elértheti a nullát, ekkor a kapcsolóüzemben dolgozó MOSFET-ek bekapcsolnak.
• CCM (Continuous Conduction Mode): a tekercsen átfolyó áram sohasem éri el a nullát, így minden meddő energia a tranzisztorokon nyelődik el.

Általában a CCM vezérlést használják, mert ennél a legalacsonyabb a csúcstényező (a maximális és az átlagos teljesítmény aránya), ám hátránya, hogy a diódák záró irányú áramai veszteséget okozhatnak, éppen ezért sokszor ott van egy X kondenzátor az egyenirányító után.  Az aktív PFC-vel rendelkező tápegységekben általában egy puffer kondenzátor van. A puffer kondenzátor értéke 200-500uF /400V körüli.

Megjegyzendő, hogy a PCF nem javít a tápegység hatékonyságán, nem lesz energiatakarékosabb tőle a számítógép. A felhasználónak tulajdonképpen nem is számít, hogy van-e PCF vagy nincs a tápban, hisz csak az aktív (hatásos) energiát fizeti. Egyedül az energiaszolgáltató örül ennek a szabványnak, mert kevesebb reaktív (meddő) energiát kell ingyen szolgáltasson és ezzel kevésbé terheli a hálózatot, és persze kíméli a környezetet.

3. Kapcsoló

Két teljesítmény MOSFET tranzisztor az átalakított egyenáramot magas frekvencián kapcsolgatja a primer oldalon. Az eredmény tehát négyszögű váltakozó áram (négyszögjel), az impulzusok amplitúdóját a bemenet amplitúdója adja, szélességét pedig a PWM vezérlő módosítja. Amikor a teljesítménytranzisztor bekapcsol, akkor nulla feszültség folyik át rajta, amikor kikapcsol, akkor pedig nulla áram. A feszültség és az áramerősség szorzata tehát mindig zéró, azaz nincs energiaveszteség. Ilyenkor nem is szabadna melegedjenek, viszont a valóságban átkapcsoláskor a tranzisztorok átmennek a lineáris régiójukon, ahol a feszültség és az áramerősség szorzata nem nulla. Ilyenkor melegednek, és mivel mindez magas frekvencián történik úgy tűnik, hogy folyamatosan energiát használnak fel és ettől melegednek. Többféle kapcsolási topológia létezik attól függően, hogy mekkora maximális áramerősségre van szükség, mekkora hatékonyságra, mekkora feszültségre, stb.

Topológia	Teljesítmény	Bemenő feszültség	Izolátor	Hatékonyság	Relatív ár
Buck	0-1000 W	5-40 V	Nincs	78%	1.0
Boost	0-150 W	4-40 V	Nincs	80%	1.0
Buck-Boost	0-150 W	5-40 V	Nincs	80%	1.0
Flyback	0-150 W	5-500 V	Van	80%	1.2
Negatívan visszacsatolt rezonáns	0-60 W	60-400 V	Van	87%	1.2
Negatívan visszacsatolt	0-150 W	5-500 V	Van	78%	1.4
Push-Pull	100-1000 W	50-1000 V	Van	75%	2.0
Fél-híd	100-500 W	50-1000 V	Van	75%	2.2
Teljes híd	400-2000+ W	50-1000 V	Van	73%	2.5
Kvázi-rezonáns	100-1000+ W	50-1000 V	Van	87-92%	2.8

(kattints a képre a nagyobb változathoz)

Előfordulhat, hogy régi tápegységekben bipoláris tranzisztorokat találunk, melyek szinte biztos, hogy a fél-híd topológiát követik. MOSFET-tel igazából bármelyik topológia előfordulhat, ám a leggyakrabb a negatív visszacsatolású és a rezonáns topológia. Az unipoláris tranzisztorok sokkal gyorsabbak és kisebb belső ellenállásúak mint a bipoláris társaik. A drágább tápegységek a rezonáns topológiát használják (pl. ZM500-RS), aminek kapcsolása hasonló a félhidas topológiához, ám az áram egy soros rezgőkörön kerül a transzformátorra. Ha a rezgőkör frekvenciája megegyezik a táp üzemfrekvenciájával, akkor nem négyszögjel, hanem szinusz hullám alakul ki. A MOSFET-ek a szinuszhullám nullátmeneténél kapcsolnak, tehát a nulla áram és a nulla feszültség pillanatában.

     Az 5VSB külön áramkört képez, tehát neki is megvan a maga kapcsoló tranzisztorpárja. Mivel ez kisebb teljesítményt kell szolgáltasson, az egyik tranzisztort szerelik csak a hűtőre. A jó minőségű tápegységekben az 5VSB-t nem két tranzisztor, hanem egy IC szolgáltatja (pl. DM311), mert ez meggátolja a túlfeszültség kialakulását ha a kondenzátorok tönkre mennének.

     Amikor a tápegység elromlik és a primer oldalon nem találunk hibát, akkor nagy a valószínűsége, hogy a kapcsolótranzisztorok  égtek ki. Ha túlterhelődnek vagy túlmelegednek, akkor zárlatosak lesznek és kiütik a biztosítékot. Ha a biztosíték nem ég ki, akkor a tranzisztorok robbannak fel.

4. Transzformátor

Letranszformálja a feszültséget alacsonyabb szintre. A tápegységet primer és szekunder részre osztja. A bemenetére kapcsolt négyszögjel a kimenetén azonos frekvenciájú "négyszögjel" lesz, kisebb amplitúdóval. Általában 3 darab EI magformájú transzformátor van egy tápegységben (a passzív PFC trafóját leszámítva), melyek közül a főtranszformátor a legnagyobb (a legnagyobb magú birkózik meg a legtöbb energiával). A két kisebbik közül egyik az 5VSB feszültséget szolgáltatja (készenléti transzformátor), a másik izolátorként szolgál a tápegység primer és a szekunder oldala között (segédtáp transzformátor). Van úgy, hogy ez utóbbi helyett optocsatoló izolálja a két oldalt.

Az egész tápegységben a transzformátor a legutolsó komponens ami tönkre mehet. A két tranzisztoros negatívan visszacsatolt topológiát használó tápegységekben előfordul, hogy az izolátor (vagy visszacsatoló) transzformátor a tápegység primer oldalán kap helyet.

5. Kimenő szűrő és védő

Egyenirányítja és megszűri a kimenetet, valamint lekapcsolja a tápegységet ha valami nincs rendben. Itt alakul ki a +12V, 5V, 3.3V, 5VSB és -12V feszültség. Két egyenirányítási technikáról beszélünk:

• Passzív egyenirányítás: Schottky teljesítmény diódákkal (jellemzően az 5V és a 3.3V ágon)
• Szinkron egyenirányítás: MOSFET-ekkel, így nem kell számolni a diódák nagy feszültségeséseivel (<0.5V).

Ezek mellett még létezik a hibrid típus (vagy szemi-szinkron egyenirányítás), ahol Schottky diódák és MOSFET tranzisztorok is részt vesznek. A hagyományos diódahíd (amilyen a primer oldalon is van) nem elég gyors ezen az oldalon. Talán nem is gondolnánk, de gyakorlatilag az szekunder oldal egyenirányítói szabják meg, hogy a tápegység mennyi áramot képes szolgáltatni. Ezeknek a legfontosabb paramétere az a legnagyobb hőmérséklet, ami mellett még nem csökken a teljesítőképességük. A -12V előállítása egyetlen diódával történik, mert nincs szükség nagy áramerősségre ezen a kivezetésen (1A alatt). Az 5VSB egy teljesen független áramkör külön transzformátorral, hiszen ennek akkor is működnie kell mikor a tápegység ki van kapcsolva (de áram alatt van). A +12V, 5V és 3.3V kimenetek előállítására/szűrésére három szabályzási módszer létezik:

• Csoportos szabályzás: ezt a gazdaságos tápegységekben használják, a legkönnyebben úgy lehet beazonosítani, hogy megszámoljuk a szekunder oldalon lévő tekercseket. Ha ebből csak kettő van, akkor csoportos szabályzásról van szó. A nagy tekercs a 12V/5V-nak, a kisebb 3.3V-nak van odatéve. A 12V/5V együtt van előállítva és kimeneteik vissza vannak csatolva a szabályzásvezérlőbe. Ez azt jelenti, hogy ha a terhelés nem kiegyensúlyozott a két kimenet között, akkor a vezérlőnek igencsak nehezére fog esni fenntartani a stabil feszültségszinteket. Például ha a 12V-os oldalt túlságosan leterheljük, akkor a szabályzó megpróbálja ellensúlyozni azt a feszültségszint növelésével, de ezzel együtt az 5V-os ágon is megnöveli a feszültséget. A 3.3V-os ág szabályzása mágneses erősítős után-szabályzással történik 5V-ról, vagy ritkábban 12V-ról.

• Független szabályzás: ezt nagyobb teljesítményű tápegységekben használják, ahol a költségek másodlagosak. Minden fő DC kimenetnek megvan a maga szabályzóköre, ezért a kiegyensúlyozatlan terhelés nem okoz problémát. Ha a szekunder részben három toroid tekercset látunk, akkor független szabályzásról van szó.

• DC-DC konvertálás: ez egy feszültségcsökkentő kapcsolás, ahol az 5V és a 3.3V közvetlenül a 12V-ból származik. A tulajdonságok szempontjából az előző kettő keveréke, hiszen a 12V-os ág leterhelése a többire is kihat, viszont a szabályzás mégis külön történik

Az egyenirányítás kétféleképp történhet:

A második esetben csupán két kivezetéses transzformátorra van szükség, emiatt a ferritgyűrű is nagyobb kell legyen a tekercsen. Éppen ezért a második esetet a drágább, az első esetet az olcsóbb tápegységekben használják. A drágább változatban, a maximális kimenő áram növelésére a teljesítmény diódákat megduplázzák, párhuzamosan kötve őket. Minden tápegységben megtalálható legfeljebb kettő a fenti áramkörök közül. A teljesítménydiódák és az egyenirányítók a szekunder oldal hűtőbordájára vannak felszerelve. Mellettük lehet még egy-egy szabályzó (stabilizátor-kocka vagy MOSFET tranzisztor) az 5VSB-nek és a 3.3V-nak.

      Az egyenirányítók utáni toroidoknak nem csak szabályzó, de szűrő szerepük is van. Az LLC rezonáns topológiájú tápegységekben nincs toroid tekercs a szekunder oldalon, ha mégis akkor az csakis szűrés céljából. A kimenő feszültségek toleranciája 5% a pozitív és 10% a negatív feszültségeknél. 12V helyett például megengedett 11.4V vagy 11.6V. A generált feszültségek fodrozódhatnak és ott van rajtuk még az a rádiófrekvenciás zaj is, amit a kapcsoló-frekvencia okoz. Ezek együttes vastagsága nem haladhatja meg a 120mV-ot a 12V esetén és az 50mV-ot az 5V és a 3.3V esetén.

      A három feszültségág a szekunder hűtőbordára szerelt egyenirányítók és a kimenő vezetékek között helyezkedik el egymás mellett. Mindenik egyenirányítóval a saját kivezetése van szemben, ezek alapján könnyen be lehet azonosítani, hogy melyik vezetékhez melyik egyenirányító tartozik: 12V-al szemben a sárga, 5V-al szemben a piros, 3.3V-al szemben a narancssárga. A fenti képen az is jól látszik, hogy a 12V és az 5V közös tekercsen osztozik (csoportos szabályzás). A kép bal oldalán lévő IC a PWR-OK jel generátor, ami a tápegység kimenetét teszteli a bekapcsolást követően.

A két toroid tekercs egy-egy mágneses erősítő része, mely a szabályzásban játszik szerepet. A felállított, gyakran légmagos tekercsek egy-egy PI-szűrő részei, melyből van egy az 5VSB ágon is, és szerepe, hogy kiszűrje a magas frekvenciás zajt a kimenetből.

6. PWM vezérlő

Egy integrált áramkör (gyakran azonos az APFC vezérlőjével), ami változtatja az impulzusok kitöltési tényezőjét, hogy minden terhelés esetén megmaradjon a stabil feszültség. Nagy megközelítéssel elmondható, hogy a kimenő feszültség = bemenő feszültség x kitöltés. Ezért ha nagy a terhelés és leesik a kimenet, akkor a kitöltést növelni kell. A feszültségesést egy komparátor segítségével érzékeli, ami mindig viszonyítja a kimenetet egy iedális referenciához, aminek értéke nem függ a terheléstől. Ezek mellett egyéb funkciókra is képes a vezérlő. Például fokozatosan indítja el a tápegységet a túláramok elkerülése végett, túlterhelés védelemet, alacsony feszültségvédelemet nyújt.

Az APFC nélküli tápegységek általában a TL494 IC-t használják, az APFC-vel rendelkezők pedig a CM6800 együttes vezérlőt.

Ha a tápegységet más célra, nagy terheléssel (10-15A) használjuk, akkor érdemes a TL494 (esetleg KA7500B / SDC7500) PWM vezérlő "Deadtime control" kivezetését a földre kötni, hogy ne kapcsolja le a kimenetet az áramtüskéknél. Ebben az esetben a PS-ON-t nem kell a földre kötni, a tápegység nélküle is indul.

7. Izolátor

Fenntartja a primer és szekunder oldalak izoláltságát. A DC kimeneti feszültség bementre való visszacsatolásáról van szó, melyet a PWM vezérlő használ a kimenet stabilan tartásához. Erre két módszer lehetséges: optikai (optocsatoló) és mágneses (transzformáor) izolálás. Leginkább optikai izolálást alkalmaznak, de van hogy mindkettőt alkalmazzák. A feszültséghiba-erősítőt az izolátor szekunder oldalára szerelik.

Védőáramkörök:

• Rövidzárvédelem: kikapcsolja a tápegységet, ha a kimenetek valamelyikét rövidre zárjuk.
• Alacsony feszültség védelem: kikapcsolja a tápegységet, ha valamelyik kimenet feszültségszintje túlságosan lecsökken.
• Túlfeszültség védelem: kikapcsolja a tápegységet, ha valamelyik kimenet feszültségszintje túlságosan megnő.
• Túláram védelem: kikapcsolja a tápegységet, ha túlságosan leterheljük vagy rövidre zárjuk. Lassabb a rövidzárvédelemnél, inkább egyfajta áramkorlátnak mondható.
• Túlterhelés védelem: kikapcsolja a tápegységet, ha túlságosan leterheljük. A túláram kialakulását előzi meg, valamint az alkatrészek túlmelegedését.
• Túlmelegedés védelem: kikapcsolja a tápegységet, ha a hűtőbordára szerelt hőmérő értéke meghalad egy küszöbértéket. Ez csak végső esetben kapcsol be, mikor az előző kettő kudarcot vallott.

A következő kapcsolási rajzon egy 450W-os ATX tápegység 7 funkciója színekkel van csoportosítva. A szürke rész (kimenő szűrő és védő) további csoportokra van bontva.

(kattints a képre a nagyobb változathoz)

Ez egy tipikus számítógép tápegység MOSFET kapcsolókkal és aktív PFC-vel.

A hálózati feszültség három vezetéke (G-föld, N-nulla, L-fázis) a pirossal jelölt zajszűrőbe megy. Ez egy EMI (ElectroMagnetic Interference) szűrő és célja, hogy csökkentse a hálózat nagyfrekvenciás felharmonikusait (oda-vissza). Az RT3 ellenállás egy NTC ellenállás, mely korlátozza a C4 és C5 kisült kondenzátorokba jutó bekapcsolási áramlöketet. Miután felmelegszik csökken az ellenállása és több áramot enged át.

A BD1 diódahíd egyenirányítja a váltóáramot, majd a zölddel jelölt többi komponens megvalósítja az aktív PFC-t, valamint a B+ egyenáramú kapcsolatot a kapcsoló résszel. Az APFC meghajtása a Q3, Q10 MOSFET tranzisztorból, az L11 tekercsből, a D27 diódából és a C4-C4 puffer-kondenzátorból áll.

A kékkel jelölt kapcsolót a Q1 és Q25 MOSFET tranzisztor valósítja meg valamint ezek visszacsatolt diódáik: D36 és D39. Amikor Q1 és Q25 be vannak kapcsolva, a B+ egyenáram a T1 transzformátorra kerül. A pozitív feszültségtől vezetni kezd a D4 és a D9 egyenirányító, majd a D28 is. A két MOSFET vezérlése a T3 izolátor transzformátoron át történik egy rakás impulzusformáló alkatrésszel. Az L4-nek három tekercse van a +5V, +12V és a -12V számára. A -12V-os ágat az M1 stabilizátor (7912) stabilizálja, de a +12V és a +5V csoportos szabályzást kap.

A 3.3V-os ág szabályzását a mágneses erősítő végzi (angolul: mag-amp), aminek fő komponense az L8 tekercs, a Q15 bipoláris tranzisztor és a D14 dióda. Kezdetben L8 induktanciája sokkal nagyobb mint az L9 tekercsé, ezért minden kapcsolás elején L8 megelőzi az áram átfolyását D28-on. Aztán L8 gyorsan telítődik és D28 vezetni kezd. Az áramblokkolás ideje a Q15 és D14 visszáramától függ, melyet az M9 söntszabályzó határoz meg.

Az 5V készenléti feszültséget (5VSB) a Q6 fly-back topológiát használó tranzisztor és a T2 izolátor (készenléti transzformátor) valósítja meg. Neki is van egy M3 hibaerésítője és egy M5 optocsatolója, ami a stabilizálásban segít. Az M5 optocsatoló két oldala a kapcsolási rajzon külön szerepel.

A hibajel erősítés (pirossal bekeretezett áramkör) az M7 söntszabályzóval van megvalósítva, például egy TL431-el. Ha a kimeneti feszültség túl magas, a TL431 katódján söntáram folyik és megvezérli az M2 optocsatoló fototranzisztorát. A fototranzisztor emitterárama pedig befolyásolja a PWM kitöltési tényezőjét. Ez az áramkör képezi a tápegység egyetlen visszacsatolását.

A PCB3-al jelölt téglalap egy külön áramkör, amit mint cserélhető vezérlőkártyát, a tápegység NYÁK-jára függőlegesen forrasztanak bele.

A védő mechanizmust az M10-es IC valósítja meg. Itt történik a PS-ON és PWR-OK jelek generálása is.

A ventillátor sebességének szabályzásáért az M201 quad-komparátor a felelős. A sebesség mértéke az RT201 termisztor mérésétől függ.

Integráló és deriváló

1. Analóg integráló és deriváló áramkörök
1. RC integráló
2. RC deriváló
3. Integráló műveleti erősítővel
4. Deriváló műveleti erősítővel
5. Példa analóg integrálásra és deriválásra
2. Numerikus integrálás és deriválás
1. Integrálás
2. Deriválás
3. Példák numerikus integrálásra és deriválásra

      Integráló és deriváló (differenciáló) áramköröket mindenhol használnak, ahol méréseket, analíziseket végeznek elektromos jelekkel. Ezek megépíthetők analóg módon (RC körökkel vagy műveleti erősítőkkel) és szoftveresen (vezérlőkkel). A matematikában területszámításra, térfogatszámításra, ívhosszúság-számításra, súlypontszámításra, nyomás, erő, valószínűség, és sok más hasznos dologra felhasználható.

Az integrálás területszámítás, az x-y koordinátarendszerben meghúzott görbe alatti terület kiszámítása. Legyen egy parabolikus görbe, melynek függvénye: $f(x)=x^2$

Az [1,2] intervallum görbe alatti terület:

\[F(x)=\int_1^2 x^2 \mathrm{d}x=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C\]

A $C$ a végén az integrálási állandó, mely onnan ered, hogy a konstans deriváltja nulla. Ha deriváljuk a fenti függvényt, akkor:

\[f(x)=\frac{3x^{3-1}}{3}=x^2\]

Az $F(x)$ függvény lehetne akár $\frac{x^3}{3}+2$ vagy $\frac{x^3}{3}+99$, a deriváltja akkor is $x^2$, hiszen a 2 és a 99 deriváltja mind nulla. A görbe alatti terület a következő:
 

\[F(x)=\int_1^2 x^2\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=\frac{2^3}{3}+C-\left(\frac{1^3}{3}+C\right)=\frac{7}{3}=2,33 \text{ (pl. } cm^2\text{)}\]

Az alul és felül is korlátolt integráltnál a $C$ mindig kiesik, ezért hanyagolható. 

Ha térfogatot számolunk meghatározható például, hogy mikor mennyi víz lesz egy tartályban és milyen gyorsasággal fog telni.

Ha az áramlás kettesével nő, akkor a vízmennyiség hatványozódik. Például 3 perc után a vízmennyiség:

\[\int_0^3 2x\mathrm{d}x=x^2+C=3^2-0^2=9 \text{ (liter)}\]

Ha a vízmennyiség minden időegységben hatványozódik akkor az áramlás duplázódik. Például 3 perc után az áramlás sebessége:

\[(x^2+C)'=2x=2\cdot 3=6 \text{ (liter/perc)}\]

Ebben az esetben a $C$ azt jelentené, hogy már volt víz a tartályban a mérés előtt. 

A függvény deriváltját differenciálhányadosnak is nevezik. Egy függvény akkor differenciálható, ha egy ponton lineárisként is felírható, azaz nem különbözik a görbe érintő egyenesétől. A derivált azt mutatja meg, hogy mennyire meredek az érintő egyenes.

Ha csak annyi ismert, hogy a vízmennyiség $x^2$-tel nő, akkor 2 percnél a vízáramlás meredeksége 4, és minden percnél egyre meredekebb az érintő egyenes.

Ha a görbe az x tengely alá merül, akkor negatív terület (vagy térfogat) is számolható: 

\[\int_1^3\cos(x)\mathrm{d}x=\sin(3)-\sin(1)=0,141-0,841=-0,7\]

A jelfeldolgozásban nem szoktak negatív végtelentől a pozitív végtelen fele integrálni, hanem ablakoknak nevezett intervallumokon megy végig az algoritmus és összegzi a kiszámolt értékeket.

Analóg Integráló és deriváló áramkörök

Az elektronikában a bemenet egy folyamatosan változó jel, mely hatással van a kondenzátorokra és ellenállásokra. Az integrálót aktív alul-áteresztőnek, a deriválót pedig aktív felül-áteresztőnek vagy differenciálerősítőnek nevezik. Szűrőként folytonos AC jellel, integrálóként/deriválóként pedig diszkrét négyszögjellel használják.

A bemenő feszültség mindkét áramkörnél:

\[U_{be}=U_R+U_C=I\cdot R+\frac{Q}{C}\]

Innen már látszik, hogy a kondenzátor töltése (Q) lesz az, ami bevezeti az integrálás és deriválás fogalmát, mert a kondenzátoron átfolyó áram:

\[I(t)=\frac{dQ(t)}{dt}\Rightarrow Q(t)=\int_0^t i(t)\mathrm{d}t\]

RC integráló

Ha az integráló kör bemenete magas frekvenciájú $\left(\omega >>\frac{1}{RC}\right)$, akkor a kondenzátornak nem lesz elég ideje teljesen feltelni ezért rajta csak kevés feszültség fog esni és a bemenő feszültség túlnyomó része az R ellenálláson lesz mérhető.

\[U_{be}(t)=U_R(t)=I(t)\cdot R\]

\[U_{ki}(t)=U_C(t)=\frac{Q(t)}{C}=\frac{1}{C}\int_0^t i(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{C}\int_0^t\frac{U_{be}(t)}{R}\mathrm{d}t=\frac{1}{RC}\int_0^t U_{be}(t)\mathrm{d}t+U_{ki}(0)\]

Alacsony frekvencián a kondenzátor szakadásként viselkedik, ezért a kimenő feszültség egyenlő lesz a bemenettel. Közép frekvencián a kondenzátor ellenállása csökken és elkezd töltődni. Más szóval „elszív” az áramból, és ha a frekvencia nem túl nagy, akkor van ideje teljesen feltelni. Ezután ismét szakadásként viselkedik és a kimenő feszültség maximális. A bemenet lefutó élénél a kondenzátor elkezd kisülni és ha elég lassú a frekvencia, akkor van ideje teljesen lemerülni. Ha a frekvencia túl magas, a kondenzátor nem telik fel teljesen, ezért a kimenet nem éri el a maximális feszültséget. A kimenet ilyenkor a háromszögjelhez hasonlít és minél nagyobb a frekvencia, annál kisebb amplitúdójú lesz. Az $U_{ki}(0)$ az integrációs állandó és a kondenzátor kezdeti töltöttségének felel meg.

RC deriváló

Ha a deriváló kör bemenete alacsony frekvenciájú $\left(\omega <<\frac{1}{RC}\right)$, akkor a kondenzátornak van ideje feltelni egészen a bemeneti feszültségszintig és a bemenő feszültség túlnyomó része rajta lesz mérhető.
 

\[U_{be}(t)=U_C(t)=\frac{Q(t)}{C}\]

\[U_{ki}(t)=U_R(t)=I(t)\cdot R=R\frac{dQ(t)}{dt}=R\frac{d\left(C\cdot U_{be}(t)\right)}{dt}=RC\frac{d}{dt}U_{be}(t)\]

Mikor a kondenzátor teljesen feltelt, az ellenálláson semmi feszültség nem marad. A bemenet lefutó élénél a kondenzátor kisül majd ellentétes irányban telik fel, negatív tüskét eredményezve. A négyszögjel minden élénél a feszültségtüske pozitív és negatív értékek között váltakozik. A tüskék amplitúdója a bemenet amplitúdójával talál, időtartama pedig bemenet frekvenciájától és az áramkör időállandójától $(t=RC)$ függ.

Integráló műveleti erősítővel

Sokkal pontosabb integráló és deriváló köröket lehet alkotni, ha a kondenzátorokat vagy az ellenállásokat a műveleti erősítők visszacsatolásaként használjuk. Ha a műveleti erősítő negatív visszacsatolásában kondenzátor van, akkor integráló áramkört alkot.

Ideális esetben a fenti áramkörben lévő műveleti erősítő bemeneti ellenállása végtelen nagy, bemeneti árama és bemeneti potenciálkülönbsége nulla:

\[I_R=I_C, U_D=0\]

\[\frac{U_{be}}{R}=-C\frac{dU_{ki}}{dt}\]

Átrendezve az egyenletet és integrálva 0-tól t-ig:

\[\int dU_{ki}=-\int\frac{U_{ki}(t)}{RC}\mathrm{d}t\Rightarrow U_{ki}(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t U_{be}(t)\mathrm{d}t+U_{ki}(0)\]

A negatív előjel a 180 fokos eltolását jelenti az invertáló bemenetre kötött jelnek. A frekvenciatartomány meghatározásához a visszacsatolás impedanciáját kell felírni:

\[\frac{U_{ki}}{U_{be}}=-\frac{Z_C}{Z_R}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R}=\frac{j}{\omega RC}\]

A fenti kifejezés szerint 90 fokos fáziskülönbség lesz a kimenet és bemenet között, frekvenciától függetlenül. Kezdetben a kondenzátor üres és ellenállása kicsi, rövidzárként viselkedik és átenged minden áramot ami az ellenállásról jön. Ilyenkor nem folyik áram a műveleti erősítőbe, hiszen az áram mindig a kisebb ellenállás felé halad. Az x-el jelölt csomópont ekkor virtuális földnek tekinthető (a nem-invertáló bemenettel azonos potenciálon van, mert $U_D=0$), az áramkör feszültségismétlőként viselkedik. Mikor a kondenzátor telni kezd, az ellenállása (impedanciája) is megnő. A kondenzátor az RC időállandótól függő gyorsasággal telik fel. A negatív visszacsatolás miatt a műveleti erősítő igyekszik olyan kimenetet produkálni, ami fenntartja az invertáló bemeneten lévő virtuális földet. Ahogy a kondenzátoron lévő feszültség nő, úgy a rajta átfolyó áram csökken és emiatt a kimenő feszültség lineárisan nőni fog egészen addig, míg a kondenzátor be nem fejezi a töltődést.

Négyszögjel bemenetnél a kimenet tehát háromszögjel lesz, háromszögjel bemenettel pedig szinuszos kimenetet kapunk. Szinuszos bemenő hullám esetén az áramkör alul-áteresztőként viselkedik. Ha a frekvencia túl alacsony, (pl DC bemenet), akkor a kondenzátor szakadásként fog viselkedni elvágva a visszacsatolást a műveleti erősítő bemenetéről. Ettől a műveleti erősítő maximális nyereségű áramkörként (nyílthurkú erősítőként) működik:

\[A=\frac{U_{ki}}{U{be}}=-\frac{R_C}{R}=-\frac{\infty}{R}=-\infty\]

Más szóval a kimenet a negatív tápfeszültségre telítődik. A nyereséget szabályozni lehet, ha a kondenzátorral párhuzamosan kötünk egy ellenállást, így alacsony frekvencián, mikor a kondenzátor ellenállása nagy, a párhuzamos ellenállást felé fog folyni az áram nagy része és az áramkör normális invertáló erősítőként fog viselkedni $\frac{R_p}{R}$ nyereséggel:

Ha a frekvencia növekszik, a kondenzátor lassan söntölni fogja a párhuzamos ellenállást és csökkenti az erősítés mértékét. Ilyenkor az áramkör integrátorként működik.

\[\text{Ha } f_{be}<\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{invertáló}\]

\[\text{Ha } f_{be}>\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{integráló}\]

Ha a frekvencia túlságosan nagy, akkor a kondenzátor zárlatként viselkedik, az áramkör pedig feszültségismétlőként.

\[\text{Ha } f_{be}>>\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{fesz}\ddot{u}\text{ltségismétlő}\]

Az integrálás tehát a visszacsatolási kondenzátor töltésével történik. Hogy az eredmény pontos legyen, a kondenzátornak üresnek kell lennie bekapcsoláskor. Ez úgy érhető el például, ha a kondenzátor sarkait egy kapcsolóval rövidre zárjuk minden bekapcsolás előtt.

Deriváló műveleti erősítővel

Felcserélve az ellenállást a kondenzátorral deriválót kapunk. A kimeneti feszültség egyenesen arányos a bemenő feszültség időbeni változásaival. Minél gyorsabban változik a bemenő feszültség annál nagyobb az áramkörben folyó áramerősség és annál magasabb a kimeneti feszültség. Az áramkört differenciálerősítőnek is nevezik.

Ideális esetben a fenti áramkörben:

\[I_C=I_R, U_D=0\] \[\frac{U_{ki}}{R}=-C\frac{dU_{be}}{dt}\]

Átrendezve az egyenletet:

\[U_{ki}=-RC\frac{dU_{be}}{dt}\]

A bemenet a kondenzátorra kerül, ami kiszűr minden DC komponenst, ezért DC bemenetkor nincs kimenet. AC feszültség esetén, alacsony frekvencián a kondenzátor ellenállása nagy marad, alacsonyan tartva az áramkör erősítését, a kimeneti feszültség egyenlő a bemenetivel (feszültségismétlő). A frekvencia növekedésével kondenzátor ellenállása csökken, az erősítés megnő és az áramkör deriváló tulajdonsága lesz jellemző. A 90 fokos fáziskülönbség a kimenet és bemenet között minden frekvencián fenn áll. Túl nagy frekvencián azonban az áramkör egyre instabilabbá válik és oszcillálni kezd. Ez főként az elsőrendű szűrőhatásnak köszönhető, mely az áramkör frekvenciaválaszát adja meg és egy másodrendű frekvenciaválaszt okoz, melytől a túl magas frekvenciák a vártnál jóval nagyobb feszültségcsúcsokat (zajt) generálnak a kimeneten. Ez kiküszöbölhető az ellenállással párhuzamosan kapcsolt kondenzátorral.

A differenciálerősítő kapacitív bemenetének köszönhetően nagyon érzékeny lesz a zajra vagy harmonikusokra, azaz akár jobban is felerősítheti őket, mint a hasznos jelt. Ha a kondenzátorral sorosan kötünk egy ellenállást, akkor az kicsit növel a nyereségen és javít a zajra való érzékenységen:

A kimenő jelalakok különböző bemenetnél a következők:

Ebben az áramkörben, minél nagyobb a frekvencia, annál inkább vezetni kezd C kondenzátor és az áramkör annál inkább kezd invertáló erősítőként működni (R/Rs nyereséggel).

\[\text{Ha } f_{be}<\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{deriváló}\]

\[\text{Ha } f_{be}>\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{invertáló}\]

Példa analóg integrálásra és deriválásra

Az analóg áramköröket integrálásra és differenciálegyenletek megoldására csak a régi analóg számítógépekben használták. Ma inkább analóg-digitális átalakítókban, hullámformálókban, vagy egyéb szabályozástechnikában vannak jelen.

Szinusz és koszninusz

Ha a műveleti erősítős integrálóra olyan feszültséget kapcsolunk, mely időben a koszinusz függvény szerint változik, akkor:

\[U_{ki}(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t U_{be}\cdot \cos(\omega t)\mathrm{d}t+U_{ki}(0)=-\frac{U_{be}}{\omega RC}\cdot \sin(\omega t)+U_{ki}(0)\]

Ha a műveleti erősítős deriválóra olyan feszültséget kapcsolunk, mely időben a szinusz függvény szerint változik, akkor:

\[U_{ki}=-RC\frac{d\left(U_{be}\cdot\sin(\omega t)\right)}{dt}=-\omega RC\cdot U_{be}\cdot\cos(\omega t)\]

Hatványozás

Ha az $U_{be}=x^2$ függvényt deriváljuk, akkor az azt jelenti, hogy egy véges, $x^2$ alakú jelt adunk a bemenetre. Az áramkör valós időben, azaz minden időegységben elvégzi a műveletet. Például t=5 pillanatban: 

\[U_{ki}(t)=\frac{1}{RC}\int_0^5 U_{be}\cdot x^2 \mathrm{d}t=\frac{U_{be}}{\omega RC}\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{25}{\omega RC}\cdot\frac{x^3}{3}=\] \[=\frac{8,33}{\omega RC}\cdot \left(5^3-0^3\right)=\frac{1}{\omega RC}\cdot 1041,5 \text{ mV}\] \[(\omega = 2 \pi f)\]

Numerikus integrálás és deriválás

Integrálás

Bináris (digitális) adatokkal való integrálás/deriválás során a koordinátapontok alatti területet számítjuk ki és adjuk össze. Feltételezzük az, hogy az analóg jel mintavételezése elég nagy felbontású és gyors.

Téglalap szabály

Először a beérkező [a…b] számhalmazt n intervallumra bontjuk:

\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]

A kapott intervallumok:

\[[x_0,...,x_1],[x_1,...,x_2],...,[x_{n-k},...,x_n]\text{ ahol } x_0=a \text{ és } x_n=b\]

Minden intervallumnak a közepét tekintjük csakis hasznos számnak:

\[x_i^*=\frac{x_{i-k}+x_{i+k}}{2}\]

A kiszűrt számokra pedig alkalmazzuk a téglalap szabályt:

\[\int_a^b=f(x)\mathrm{d}x=\Delta x \sum_{i=1}^n f(x_i^*)=\Delta x[f(x_1^*)+f(x_2^*)+...+f(x_n^*)]\]

Minél több intervallumra bontjuk a számhalmazt, annál pontosabb eredményt kapunk, de annál többet kell dolgozzon a gép. Ha nem végzünk kvantálást, azaz minden szomszédos koordinátát számhalmaznak tekintünk, akkor:

\[\Delta x=\frac{b-a}{1}=b-a\] \[x_i^*=\frac{a+b}{2}\] \[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\]

Trapéz szabály

Először a beérkező [a…b] számhalmazt n intervallumra bontjuk:

\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]

A kapott intervallumok:

\[[x_0,...,x_1],[x_1,...,x_2],...,[x_{n-k},...,x_n]\text{ ahol } x_0=a \text{ és } x_n=b\]

A függvényt az intervallumok végpontjainak összekötésével közelítjük meg:

Az intervallumok trapézokat formálnak, melyek területe:

\[A_i=\frac{\Delta x}{2}[f(x_{i-1})+f(x_i)]\]

Ezek után n intervallumra alkalmazható a trapéz-szabály:

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d} x=\sum_{i=1}^n A_i=\frac{\Delta x}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+...+2f(x_{n-1})+f(x_n)]\]

Ha nem végzünk kvantálást, azaz minden szomszédos számot számhalmaznak tekintünk, akkor:

\[\Delta x=\frac{b-a}{1}=b-a\] \[A_i=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\] \[\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right]\]

Simpson szabály

Először a beérkező [a…b] számhalmazt n páros intervallumra bontjuk:

\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]

A kapott intervallumok:

\[[x_0,...,x_1],[x_1,...,x_2],...,[x_{n-k},...,x_n]\text{ ahol } x_0=a \text{ és } x_n=b\]

Az intervallumokon négyzetes közelítést alkalmazunk (másodrendű polinomokkal), ezért legfeljebb három pontra van szükség a számításhoz. Mivel páros számú intervallum van, mindenik intervallumpár három határral rendelkezik:

A közelítési intervallumok különböző színűek, területük pedig:

\[A_i=\frac{\Delta x}{3}[f(x_{i-1})+4f(x_i)+f(x_{i+1})]\]

Ezek után n intervallumra alkalmazható a Simpson-szabály:

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d} x=\sum_{i=1}^n A_i=\] \[=\frac{\Delta x}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+...+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)]\]

Ha nem végzünk kvantálást, azaz minden szomszédos számot számhalmaznak tekintünk, akkor:

\[\Delta x=\frac{b-a}{1}=b-a\] \[A_i=\frac{b-a}{3}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)]\] \[\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=(b-a)\left[\frac{f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)}{3}\right]\]

Deriválás

A numerikus deriválás a beérkező koordinátapontok által felrajzolható függvény érintőjének meredekségét jelenti. A legegyszerűbb becslések két koordinátapont között:

\[f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{ vagy }f'(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}\] \[\text{ vagy }f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}\]

A másodrangú derivált pedig:

\[f''(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}\]

Az első becslés x és (x+h) között a következőképp ábrázolható:

A kapott egyenes meredeksége annál közelebb fog a függvénygörbe meredekségéhez esni, minél közelebb áll h a nullához. Éppen ezért f igazi deriváltja x-ben a h nullába tartó határértéke lesz:

\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Az (x+h) és (x-h) közötti becslésnél az érintő meredeksége $h^2$-tel arányosan különbözik az eredeti görbétől, ezért kisebb h értékek esetén pontosabb megközelítést kapunk mint a másik két esetben.

Példák numerikus integrálásra és deriválásra

Integrálás

Legyen n=4, a feldolgozandó intervallum pedig t=[0..2].

\[\Delta x=\frac{2-0}{4}=0,5 \Rightarrow [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]\] \[x_i^*=\frac{x_{i-k}+x_{i+k}}{2} \Rightarrow [0.25, 0.75, 1.25, 1.75]\] \[f(x)=\cos(x)\Rightarrow \begin{cases} \text{Téglalap: }\Large{\Delta x\sum_{i=1}^n f(x_i^*)=0,5\cdot[\cos(0,25)+\cos(0,75)+\cos(1,25)+\cos(1,75)]=0,91884}\\ \text{Trapéz: }\Large{\sum_{i=1}^n A_i=\frac{0,5}{2}\cdot[\cos(0)+2\cos(0,5)+2\cos(1)+2\cos(1,5)+\cos(2)]=0,89027}\\ \text{Simpson: }\Large{\sum_{i=1}^n A_i=\frac{0,5}{3}\cdot[\cos(0)+4\cos(0,5)+2\cos(1)+4\cos(1,5)+\cos(2)]=0,90962}\end{cases}\]

Ellenőrzés:

\[\int_0^2 f(x)\mathrm{d}x=\sin(2)-\sin(0)=0,90923\]

Látható, hogy a három közül a Simpson becslés a legpontosabb. Mindez szoftveresen, például C++-ban:

#include<iostream.h>

#include<math.h>

using namespace std;

float funct(float a);

float teglalap();

float trapez();

float simpson();

float n,also,felso,dx;

int main()

{

    cout<<"n= ";cin>>n;

    cout<<"also hatar= ";cin>>also;

    cout<<"felso hatar= ";cin>>felso;

   

    dx=(felso-also)/n;

   

    cout<<"Teglalap="<<teglalap()<<endl;

    cout<<"Trapez="<<trapez()<<endl;

    cout<<"Simpson="<<simpson()<<endl;

   

    system("pause");

}

float teglalap()

{

      float osszeg=0;

      int i;

     

      for (i=0; i<n; i++)

          osszeg=osszeg+funct( ((also+i*dx)+(also+(i+1)*dx))/2 );

     

      return dx*osszeg;

}

float trapez()

{

      float osszeg=0;

      int i;

     

      for (i=1; i<=n-1; i++)

          osszeg=osszeg+2*funct(also+i*dx);

      osszeg=osszeg+funct(also)+funct(felso);

     

      return (dx/2)*osszeg;

}

float simpson()

{

      float osszeg=0;

      int i;

     

      for (i=2; i<=n-2; i++)

          osszeg=osszeg+2*funct(also+i*dx);

      osszeg=osszeg+4*funct(also+dx)+4*funct(felso-dx);

      osszeg=osszeg+funct(also)+funct(felso);

     

      return (dx/3)*osszeg;

}

float funct(float x)

{

    return cos(x);

}

A funct függvényben az integrálandó matematikai függvény szerepel.

Deriválás

Legyen h=0,01:

\[f(x)=\cos(\frac{\pi}{3})\Rightarrow \begin{cases} f'(x)=\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\frac{0,49131-0,5}{0,01}=-0,8685\\ f'(x)=\frac{\cos(x)-\cos(x-h)}{h}=\frac{0,5-0,50864}{0,01}=-0,8635\\ f'(x)=\frac{\cos(x+h)-\cos(x-h)}{h2}=\frac{0,49131-0,50864}{0,02}=-0,8665\end{cases}\]

Ellenőrzés:

\[f'(x)=-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=-0,866025\]

Látható, hogy az a becslés adott a legjobb eredményt, amelyik x-et középre vette. Mindez szoftveresen, például C++-ban:

#include<iostream.h>

#include<math.h>

using namespace std;

float funct(float a);

int main()

{

    float x,h;

   

    cout<<"x= ";cin>>x;

    cout<<"h= ";cin>>h;

    cout<<"[f(x+h)-f(x)]/h="<<(funct(x+h)-funct(x))/h<<endl;

    cout<<"[f(x)-f(x-h)]/h="<<(funct(x)-funct(x-h))/h<<endl;

    cout<<"[f(x+h)-f(x-h)]/h="<<(funct(x+h)-funct(x-h))/(2*h)<<endl;

   

    system("pause");

}

float funct(float x)

{

    return cos(x);

}

Az x bementet (pl. pi/3) radiánban kell megadni. A funct függvényben a deriválandó matematikai függvény szerepel.