- Analóg integráló és deriváló áramkörök
- RC integráló
- RC deriváló
- Integráló műveleti erősítővel
- Deriváló műveleti erősítővel
- Példa analóg integrálásra és deriválásra
- Numerikus integrálás és deriválás
Integráló és deriváló (differenciáló) áramköröket mindenhol használnak, ahol méréseket, analíziseket végeznek elektromos jelekkel. Ezek megépíthetők analóg módon (RC körökkel vagy műveleti erősítőkkel) és szoftveresen (vezérlőkkel). A matematikában területszámításra, térfogatszámításra, ívhosszúság-számításra, súlypontszámításra, nyomás, erő, valószínűség, és sok más hasznos dologra felhasználható.
Az integrálás területszámítás, az x-y koordinátarendszerben meghúzott görbe alatti terület kiszámítása. Legyen egy parabolikus görbe, melynek függvénye: $f(x)=x^2$
Az [1,2] intervallum görbe alatti terület:
\[F(x)=\int_1^2 x^2 \mathrm{d}x=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C\]
A $C$ a végén az integrálási állandó, mely onnan ered, hogy a
konstans deriváltja nulla. Ha deriváljuk a fenti függvényt, akkor:
\[f(x)=\frac{3x^{3-1}}{3}=x^2\]
Az $F(x)$ függvény lehetne akár $\frac{x^3}{3}+2$ vagy $\frac{x^3}{3}+99$, a deriváltja akkor is $x^2$, hiszen a 2 és a 99 deriváltja mind nulla. A görbe alatti
terület a következő:
\[F(x)=\int_1^2 x^2\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=\frac{2^3}{3}+C-\left(\frac{1^3}{3}+C\right)=\frac{7}{3}=2,33 \text{ (pl. } cm^2\text{)}\]
Az alul és felül is korlátolt integráltnál a $C$ mindig kiesik, ezért hanyagolható.
Ha térfogatot számolunk meghatározható például, hogy
mikor mennyi víz lesz egy tartályban és milyen gyorsasággal fog telni.
Ha az áramlás kettesével nő, akkor a vízmennyiség
hatványozódik. Például 3 perc után a vízmennyiség:
\[\int_0^3 2x\mathrm{d}x=x^2+C=3^2-0^2=9 \text{ (liter)}\]
Ha a vízmennyiség minden időegységben hatványozódik
akkor az áramlás duplázódik. Például 3 perc után az áramlás sebessége:
\[(x^2+C)'=2x=2\cdot 3=6 \text{ (liter/perc)}\]
Ebben az esetben a $C$ azt jelentené, hogy már volt víz a tartályban a mérés
előtt.
A függvény deriváltját differenciálhányadosnak is
nevezik. Egy függvény akkor differenciálható, ha egy ponton lineárisként is
felírható, azaz nem különbözik a görbe érintő egyenesétől. A derivált azt
mutatja meg, hogy mennyire meredek az érintő egyenes.
Ha csak annyi ismert, hogy a vízmennyiség $x^2$-tel nő, akkor 2 percnél a vízáramlás
meredeksége 4, és minden percnél egyre meredekebb az érintő egyenes.
Ha a
görbe az x tengely alá merül, akkor negatív terület (vagy térfogat) is
számolható:
\[\int_1^3\cos(x)\mathrm{d}x=\sin(3)-\sin(1)=0,141-0,841=-0,7\]
A jelfeldolgozásban nem szoktak negatív végtelentől a
pozitív végtelen fele integrálni, hanem ablakoknak nevezett intervallumokon
megy végig az algoritmus és összegzi a kiszámolt értékeket.
Analóg Integráló és deriváló áramkörök
Az elektronikában a bemenet egy folyamatosan változó
jel, mely hatással van a kondenzátorokra és ellenállásokra. Az integrálót
aktív alul-áteresztőnek, a deriválót pedig aktív felül-áteresztőnek vagy
differenciálerősítőnek nevezik. Szűrőként folytonos AC jellel,
integrálóként/deriválóként pedig diszkrét négyszögjellel használják.
A bemenő feszültség mindkét áramkörnél:
\[U_{be}=U_R+U_C=I\cdot R+\frac{Q}{C}\]
Innen már látszik, hogy a kondenzátor töltése (Q) lesz
az, ami bevezeti az integrálás és deriválás fogalmát, mert a kondenzátoron
átfolyó áram:
\[I(t)=\frac{dQ(t)}{dt}\Rightarrow Q(t)=\int_0^t i(t)\mathrm{d}t\]
Ha az integráló kör bemenete magas frekvenciájú $\left(\omega >>\frac{1}{RC}\right)$, akkor a kondenzátornak nem lesz elég ideje teljesen
feltelni ezért rajta csak kevés feszültség fog esni és a bemenő feszültség
túlnyomó része az R ellenálláson lesz mérhető.
\[U_{be}(t)=U_R(t)=I(t)\cdot R\]
\[U_{ki}(t)=U_C(t)=\frac{Q(t)}{C}=\frac{1}{C}\int_0^t i(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{C}\int_0^t\frac{U_{be}(t)}{R}\mathrm{d}t=\frac{1}{RC}\int_0^t U_{be}(t)\mathrm{d}t+U_{ki}(0)\]
Alacsony frekvencián a kondenzátor szakadásként
viselkedik, ezért a kimenő feszültség egyenlő lesz a bemenettel. Közép
frekvencián a kondenzátor ellenállása csökken és elkezd töltődni. Más szóval
„elszív” az áramból, és ha a frekvencia nem túl nagy, akkor van ideje teljesen
feltelni. Ezután ismét szakadásként viselkedik és a kimenő feszültség
maximális. A bemenet lefutó élénél a kondenzátor elkezd kisülni és ha elég
lassú a frekvencia, akkor van ideje teljesen lemerülni. Ha a frekvencia túl magas,
a kondenzátor nem telik fel teljesen, ezért a kimenet nem éri el a maximális
feszültséget. A kimenet ilyenkor a háromszögjelhez hasonlít és minél nagyobb a
frekvencia, annál kisebb amplitúdójú lesz. Az $U_{ki}(0)$ az integrációs állandó és a kondenzátor kezdeti
töltöttségének felel meg.
Ha a deriváló kör bemenete alacsony frekvenciájú $\left(\omega <<\frac{1}{RC}\right)$, akkor a kondenzátornak van ideje feltelni egészen a
bemeneti feszültségszintig és a bemenő feszültség túlnyomó része rajta lesz
mérhető.
\[U_{be}(t)=U_C(t)=\frac{Q(t)}{C}\]
\[U_{ki}(t)=U_R(t)=I(t)\cdot R=R\frac{dQ(t)}{dt}=R\frac{d\left(C\cdot U_{be}(t)\right)}{dt}=RC\frac{d}{dt}U_{be}(t)\]
Mikor a kondenzátor teljesen feltelt, az ellenálláson
semmi feszültség nem marad. A bemenet lefutó élénél a kondenzátor kisül majd
ellentétes irányban telik fel, negatív tüskét eredményezve. A négyszögjel
minden élénél a feszültségtüske pozitív és negatív értékek között váltakozik. A
tüskék amplitúdója a bemenet amplitúdójával talál, időtartama pedig bemenet
frekvenciájától és az áramkör időállandójától $(t=RC)$ függ.
Sokkal pontosabb integráló és deriváló köröket lehet
alkotni, ha a kondenzátorokat vagy az ellenállásokat a műveleti erősítők
visszacsatolásaként használjuk. Ha a műveleti erősítő negatív visszacsatolásában
kondenzátor van, akkor integráló áramkört alkot.
Ideális esetben a fenti áramkörben lévő műveleti
erősítő bemeneti ellenállása végtelen nagy, bemeneti árama és bemeneti
potenciálkülönbsége nulla:
\[I_R=I_C, U_D=0\]
\[\frac{U_{be}}{R}=-C\frac{dU_{ki}}{dt}\]
Átrendezve az egyenletet és integrálva 0-tól t-ig:
\[\int dU_{ki}=-\int\frac{U_{ki}(t)}{RC}\mathrm{d}t\Rightarrow U_{ki}(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t U_{be}(t)\mathrm{d}t+U_{ki}(0)\]
A negatív előjel a 180 fokos eltolását jelenti az
invertáló bemenetre kötött jelnek. A frekvenciatartomány meghatározásához a
visszacsatolás impedanciáját kell felírni:
\[\frac{U_{ki}}{U_{be}}=-\frac{Z_C}{Z_R}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R}=\frac{j}{\omega RC}\]
A fenti kifejezés szerint 90 fokos fáziskülönbség lesz
a kimenet és bemenet között, frekvenciától függetlenül. Kezdetben a kondenzátor
üres és ellenállása kicsi, rövidzárként viselkedik és átenged minden áramot ami
az ellenállásról jön. Ilyenkor nem folyik áram a műveleti erősítőbe, hiszen az
áram mindig a kisebb ellenállás felé halad. Az x-el jelölt csomópont ekkor virtuális
földnek tekinthető (a nem-invertáló bemenettel azonos potenciálon van, mert $U_D=0$), az áramkör feszültségismétlőként
viselkedik. Mikor a kondenzátor telni kezd, az ellenállása (impedanciája) is megnő.
A kondenzátor az RC időállandótól függő gyorsasággal telik fel. A negatív
visszacsatolás miatt a műveleti erősítő igyekszik olyan kimenetet produkálni,
ami fenntartja az invertáló bemeneten lévő virtuális földet. Ahogy a
kondenzátoron lévő feszültség nő, úgy a rajta átfolyó áram csökken és emiatt a
kimenő feszültség lineárisan nőni fog egészen addig, míg a kondenzátor be nem
fejezi a töltődést.
\[A=\frac{U_{ki}}{U{be}}=-\frac{R_C}{R}=-\frac{\infty}{R}=-\infty\]
Más szóval a kimenet a negatív tápfeszültségre
telítődik. A nyereséget szabályozni lehet, ha a kondenzátorral párhuzamosan
kötünk egy ellenállást, így alacsony frekvencián, mikor a kondenzátor
ellenállása nagy, a párhuzamos ellenállást felé fog folyni az áram nagy része és
az áramkör normális invertáló erősítőként fog viselkedni $\frac{R_p}{R}$ nyereséggel:
Ha a frekvencia növekszik, a kondenzátor lassan
söntölni fogja a párhuzamos ellenállást és csökkenti az erősítés mértékét. Ilyenkor
az áramkör integrátorként működik.
\[\text{Ha } f_{be}<\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{invertáló}\]
\[\text{Ha } f_{be}>\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{integráló}\]
Ha a frekvencia túlságosan nagy, akkor a kondenzátor
zárlatként viselkedik, az áramkör pedig feszültségismétlőként.
\[\text{Ha } f_{be}>>\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{fesz}\ddot{u}\text{ltségismétlő}\]
Az integrálás tehát a visszacsatolási kondenzátor
töltésével történik. Hogy az eredmény pontos legyen, a kondenzátornak üresnek
kell lennie bekapcsoláskor. Ez úgy érhető el például, ha a kondenzátor sarkait
egy kapcsolóval rövidre zárjuk minden bekapcsolás előtt.
Deriváló műveleti erősítővel
Felcserélve az ellenállást a kondenzátorral deriválót kapunk. A kimeneti feszültség egyenesen arányos a bemenő feszültség időbeni változásaival. Minél gyorsabban változik a bemenő feszültség annál nagyobb az áramkörben folyó áramerősség és annál magasabb a kimeneti feszültség. Az áramkört differenciálerősítőnek is nevezik.
Ideális esetben a fenti áramkörben:
\[I_C=I_R, U_D=0\]
\[\frac{U_{ki}}{R}=-C\frac{dU_{be}}{dt}\]
Átrendezve az egyenletet:
\[U_{ki}=-RC\frac{dU_{be}}{dt}\]
A bemenet a kondenzátorra kerül, ami kiszűr
minden DC komponenst, ezért DC bemenetkor nincs kimenet. AC feszültség esetén,
alacsony frekvencián a kondenzátor ellenállása nagy marad, alacsonyan tartva az
áramkör erősítését, a kimeneti feszültség egyenlő a bemenetivel
(feszültségismétlő). A frekvencia növekedésével kondenzátor ellenállása
csökken, az erősítés megnő és az áramkör deriváló tulajdonsága lesz jellemző. A
90 fokos fáziskülönbség a kimenet és bemenet között minden frekvencián fenn
áll. Túl nagy frekvencián azonban az áramkör egyre instabilabbá válik és
oszcillálni kezd. Ez főként az elsőrendű szűrőhatásnak köszönhető, mely az
áramkör frekvenciaválaszát adja meg és egy másodrendű frekvenciaválaszt okoz,
melytől a túl magas frekvenciák a vártnál jóval nagyobb feszültségcsúcsokat
(zajt) generálnak a kimeneten. Ez kiküszöbölhető az ellenállással párhuzamosan
kapcsolt kondenzátorral.
A kimenő jelalakok különböző bemenetnél a
következők:
Ebben az áramkörben, minél nagyobb a frekvencia, annál
inkább vezetni kezd C kondenzátor és az áramkör annál inkább kezd invertáló erősítőként
működni (R/Rs nyereséggel).
\[\text{Ha } f_{be}<\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{deriváló}\]
\[\text{Ha } f_{be}>\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow \text{invertáló}\]
Példa analóg integrálásra és deriválásra
Az analóg áramköröket integrálásra és differenciálegyenletek megoldására csak a régi analóg számítógépekben használták. Ma inkább analóg-digitális átalakítókban, hullámformálókban, vagy egyéb szabályozástechnikában vannak jelen.
Szinusz és koszninusz
Ha a műveleti erősítős integrálóra olyan feszültséget
kapcsolunk, mely időben a koszinusz függvény szerint változik, akkor:
\[U_{ki}(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t U_{be}\cdot \cos(\omega t)\mathrm{d}t+U_{ki}(0)=-\frac{U_{be}}{\omega RC}\cdot \sin(\omega t)+U_{ki}(0)\]
Ha a műveleti erősítős deriválóra olyan
feszültséget kapcsolunk, mely időben a szinusz függvény szerint változik,
akkor:
\[U_{ki}=-RC\frac{d\left(U_{be}\cdot\sin(\omega t)\right)}{dt}=-\omega RC\cdot U_{be}\cdot\cos(\omega t)\]
Ha az $U_{be}=x^2$ függvényt deriváljuk, akkor az azt jelenti, hogy egy véges, $x^2$ alakú jelt adunk a bemenetre. Az áramkör valós időben, azaz minden időegységben elvégzi a műveletet. Például t=5 pillanatban:
\[U_{ki}(t)=\frac{1}{RC}\int_0^5 U_{be}\cdot x^2 \mathrm{d}t=\frac{U_{be}}{\omega RC}\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{25}{\omega RC}\cdot\frac{x^3}{3}=\] \[=\frac{8,33}{\omega RC}\cdot \left(5^3-0^3\right)=\frac{1}{\omega RC}\cdot 1041,5 \text{ mV}\] \[(\omega = 2 \pi f)\]
Numerikus integrálás és deriválás
Bináris (digitális) adatokkal való
integrálás/deriválás során a koordinátapontok alatti területet számítjuk ki és
adjuk össze. Feltételezzük az, hogy az analóg jel mintavételezése elég nagy
felbontású és gyors.
\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]
A kapott intervallumok:
\[[x_0,...,x_1],[x_1,...,x_2],...,[x_{n-k},...,x_n]\text{ ahol } x_0=a \text{ és } x_n=b\]
Minden intervallumnak a közepét tekintjük csakis hasznos
számnak:
\[x_i^*=\frac{x_{i-k}+x_{i+k}}{2}\]
A kiszűrt számokra pedig alkalmazzuk a téglalap
szabályt:
\[\int_a^b=f(x)\mathrm{d}x=\Delta x \sum_{i=1}^n f(x_i^*)=\Delta x[f(x_1^*)+f(x_2^*)+...+f(x_n^*)]\]
Minél több intervallumra bontjuk a számhalmazt, annál
pontosabb eredményt kapunk, de annál többet kell dolgozzon a gép. Ha nem
végzünk kvantálást, azaz minden szomszédos koordinátát számhalmaznak tekintünk,
akkor:
\[\Delta x=\frac{b-a}{1}=b-a\] \[x_i^*=\frac{a+b}{2}\] \[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\]
\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]
A kapott intervallumok:
\[[x_0,...,x_1],[x_1,...,x_2],...,[x_{n-k},...,x_n]\text{ ahol } x_0=a \text{ és } x_n=b\]
A függvényt az intervallumok végpontjainak
összekötésével közelítjük meg:
Az intervallumok trapézokat formálnak, melyek
területe:
\[A_i=\frac{\Delta x}{2}[f(x_{i-1})+f(x_i)]\]
Ezek után n
intervallumra alkalmazható a trapéz-szabály:
\[\int_a^b f(x)\mathrm{d} x=\sum_{i=1}^n A_i=\frac{\Delta x}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+...+2f(x_{n-1})+f(x_n)]\]
Ha nem végzünk kvantálást, azaz minden
szomszédos számot számhalmaznak tekintünk, akkor:
\[\Delta x=\frac{b-a}{1}=b-a\] \[A_i=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\] \[\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right]\]
\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]
A kapott intervallumok:
\[[x_0,...,x_1],[x_1,...,x_2],...,[x_{n-k},...,x_n]\text{ ahol } x_0=a \text{ és } x_n=b\]
Az intervallumokon négyzetes közelítést alkalmazunk
(másodrendű polinomokkal), ezért legfeljebb három pontra van szükség a
számításhoz. Mivel páros számú intervallum van, mindenik intervallumpár három
határral rendelkezik:
A közelítési intervallumok különböző színűek,
területük pedig:
\[A_i=\frac{\Delta x}{3}[f(x_{i-1})+4f(x_i)+f(x_{i+1})]\]
Ezek után n intervallumra alkalmazható a Simpson-szabály:
\[\int_a^b f(x)\mathrm{d} x=\sum_{i=1}^n A_i=\] \[=\frac{\Delta x}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+...+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)]\]
Ha nem végzünk kvantálást, azaz minden szomszédos
számot számhalmaznak tekintünk, akkor:
\[\Delta x=\frac{b-a}{1}=b-a\] \[A_i=\frac{b-a}{3}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)]\] \[\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=(b-a)\left[\frac{f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)}{3}\right]\]
A numerikus deriválás a beérkező koordinátapontok
által felrajzolható függvény érintőjének meredekségét jelenti. A legegyszerűbb
becslések két koordinátapont között:
\[f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{ vagy }f'(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}\] \[\text{ vagy }f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}\]
A másodrangú derivált pedig:
\[f''(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}\]
Az első becslés x és (x+h) között a következőképp
ábrázolható:
A kapott egyenes meredeksége annál közelebb fog a
függvénygörbe meredekségéhez esni, minél közelebb áll h a nullához. Éppen ezért f igazi
deriváltja x-ben a h nullába tartó határértéke lesz:
\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Az (x+h) és (x-h) közötti becslésnél az érintő
meredeksége $h^2$-tel
arányosan különbözik az eredeti görbétől, ezért kisebb h értékek esetén pontosabb megközelítést kapunk mint a másik két esetben.
Legyen n=4, a feldolgozandó intervallum pedig t=[0..2].
\[\Delta x=\frac{2-0}{4}=0,5 \Rightarrow [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]\] \[x_i^*=\frac{x_{i-k}+x_{i+k}}{2} \Rightarrow [0.25, 0.75, 1.25, 1.75]\]
\[f(x)=\cos(x)\Rightarrow \begin{cases} \text{Téglalap: }\Large{\Delta x\sum_{i=1}^n f(x_i^*)=0,5\cdot[\cos(0,25)+\cos(0,75)+\cos(1,25)+\cos(1,75)]=0,91884}\\ \text{Trapéz: }\Large{\sum_{i=1}^n A_i=\frac{0,5}{2}\cdot[\cos(0)+2\cos(0,5)+2\cos(1)+2\cos(1,5)+\cos(2)]=0,89027}\\ \text{Simpson: }\Large{\sum_{i=1}^n A_i=\frac{0,5}{3}\cdot[\cos(0)+4\cos(0,5)+2\cos(1)+4\cos(1,5)+\cos(2)]=0,90962}\end{cases}\]
Ellenőrzés:
\[\int_0^2 f(x)\mathrm{d}x=\sin(2)-\sin(0)=0,90923\]
Látható, hogy a három közül a Simpson becslés a
legpontosabb. Mindez szoftveresen, például C++-ban:
#include<iostream.h>
#include<math.h>
using namespace
std;
float funct(float a);
float teglalap();
float trapez();
float simpson();
float n,also,felso,dx;
int main()
{
cout<<"n=
";cin>>n;
cout<<"also
hatar= ";cin>>also;
cout<<"felso
hatar= ";cin>>felso;
dx=(felso-also)/n;
cout<<"Teglalap="<<teglalap()<<endl;
cout<<"Trapez="<<trapez()<<endl;
cout<<"Simpson="<<simpson()<<endl;
system("pause");
}
float teglalap()
{
float
osszeg=0;
int
i;
for (i=0;
i<n; i++)
osszeg=osszeg+funct(
((also+i*dx)+(also+(i+1)*dx))/2 );
return
dx*osszeg;
}
float trapez()
{
float
osszeg=0;
int
i;
for (i=1;
i<=n-1; i++)
osszeg=osszeg+2*funct(also+i*dx);
osszeg=osszeg+funct(also)+funct(felso);
return
(dx/2)*osszeg;
}
float simpson()
{
float
osszeg=0;
int
i;
for (i=2;
i<=n-2; i++)
osszeg=osszeg+2*funct(also+i*dx);
osszeg=osszeg+4*funct(also+dx)+4*funct(felso-dx);
osszeg=osszeg+funct(also)+funct(felso);
return
(dx/3)*osszeg;
}
float funct(float
x)
{
return
cos(x);
}
A funct függvényben az integrálandó matematikai függvény
szerepel.
Legyen h=0,01:
\[f(x)=\cos(\frac{\pi}{3})\Rightarrow \begin{cases} f'(x)=\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\frac{0,49131-0,5}{0,01}=-0,8685\\ f'(x)=\frac{\cos(x)-\cos(x-h)}{h}=\frac{0,5-0,50864}{0,01}=-0,8635\\ f'(x)=\frac{\cos(x+h)-\cos(x-h)}{h2}=\frac{0,49131-0,50864}{0,02}=-0,8665\end{cases}\]
Ellenőrzés:
\[f'(x)=-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=-0,866025\]
Látható, hogy az a becslés adott a legjobb eredményt,
amelyik x-et középre vette. Mindez szoftveresen, például C++-ban:
#include<iostream.h>
#include<math.h>
using namespace std;
float funct(float
a);
int main()
{
float
x,h;
cout<<"x=
";cin>>x;
cout<<"h=
";cin>>h;
cout<<"[f(x+h)-f(x)]/h="<<(funct(x+h)-funct(x))/h<<endl;
cout<<"[f(x)-f(x-h)]/h="<<(funct(x)-funct(x-h))/h<<endl;
cout<<"[f(x+h)-f(x-h)]/h="<<(funct(x+h)-funct(x-h))/(2*h)<<endl;
system("pause");
}
float funct(float
x)
{
return
cos(x);
}
Az x bementet (pl. pi/3) radiánban kell
megadni. A funct függvényben a deriválandó matematikai
függvény szerepel.
